Información del Plan Docente

1. Información Básica

1.1. Objetivos de la asignatura

Los objetivos de carácter general de la enseñanza de las matemáticas en este grado pueden englobarse en dos:

 1. Formación matemática del estudiante.

 2. Capacitación del estudiante para la utilización de las matemáticas en los problemas que se le planteen en su futura profesión.

La asignatura supone un paso más en dichos objetivos ya abordados, por otra parte, en las Matemáticas I. La importancia de la formación matemática no radica sólo en los nuevos conceptos que proporciona sino en la adquisición de un enfoque riguroso, preciso, así como la capacidad de abstracción y el método científico que caracterizan a la Matemática. En cuanto al segundo objetivo, se introduce al estudiante en técnicas de modelización desde el punto de vista del análisis matemático a través de dos vías diferentes: optimización clásica por un lado y análisis dinámico por otro.

Estos planteamientos y objetivos están alineados con los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas (https://www.un.org/sustainabledevelopment/es/), de tal manera que la adquisición de los resultados de aprendizaje de la asignatura proporciona capacitación y competencia para contribuir en cierta medida a su logro.

Objetivos 1-17 (en todos pueden aplicarse modelizaciones matemáticas).

1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Matemáticas II es una asignatura de formación básica de 6 créditos ECTS que se imparte en el segundo cuatrimestre del primer curso y que es la continuación de Matemáticas I impartida en el primer cuatrimestre del mismo curso, en cuyos conceptos se fundamenta.

La asignatura Matemáticas II está dividida en dos bloques claramente diferenciados: Programación Matemática y Análisis Dinámico, que dan respuesta a dos puntos de vista de la realidad económica diferentes. Tras el primero el estudiante sabrá plantear y resolver un amplio abanico de problemas de optimización clásica: lineales o no lineales, sin restricciones o con restricciones de igualdad. En el caso de programas de optimización en los que tanto la función objetivo como las restricciones son lineales se utiliza como técnica de resolución el método del simplex. Puede utilizarse este tema para conectar la enseñanza  tradicional de resolución con el uso de programas informáticos, que simplifican el proceso de cálculo y sitúan al estudiante en la práctica profesional.

En el segundo bloque, análisis dinámico, se trata de resolver ecuaciones diferenciales y analizar su solución. Su inclusión en el programa es necesaria porque en el análisis económico es habitual que los procesos económicos sean no estáticos, como por ejemplo inversión óptima a largo plazo.

Dado que las asignaturas de matemáticas deben de ser un instrumento y apoyo de otras que son esenciales en su formación, tales como Microeconomía, Macroeconomía, Econometría, etc., se continúa en la línea de trabajo ya abordada en Matemáticas I de acercar las matemáticas a los problemas de naturaleza económica, lo que sin duda ayudará a una mejor comprensión de las matemáticas y, en consecuencia, a una mayor capacidad para su aplicación.

Al finalizar estas asignaturas los estudiantes habrán trabajado para conseguir uno de los fines más importantes de la teoría matemática: construir modelos que describan el mundo real. El futuro graduado será capaz de utilizar el lenguaje en el que se expresa la ciencia, reconociendo el papel que las matemáticas juegan en el desarrollo de su pensamiento, al mejorar su razonamiento lógico, precisión, rigor, abstracción y capacidad para valorar resultados. Por ello, las asignaturas de carácter matemático son herramientas imprescindibles que permiten diseñar los modelos oportunos mediante los cuales se investiga, describe, comprende y reflexiona acerca de la realidad de la empresa.

1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Es aconsejable que los estudiantes que vayan a cursar esta asignatura hayan adquirido todos los conocimientos necesarios para superar la asignatura Matemáticas I del primer semestre del primer curso. En cualquier caso, los estudiantes deben  conocer el significado e implicaciones de la diferenciabilidad de una función y tener destreza en el cálculo de derivadas  parciales de una función así como en la determinación del signo de una forma cuadrática. Además deben de poder realizar y seguir una secuencia lógica así como relacionar entre si distintos aspectos de las matemáticas ya conocidos.

2. Competencias y resultados de aprendizaje

2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para

1. Comprender la naturaleza de la empresa e instituciones, su relación con el entorno económico, jurídico, social y medioambiental y la incidencia del mismo sobre las áreas financiera y contable de las organizaciones.
2. Entender el funcionamiento de los mercados financieros, las instituciones que en ellos intervienen, los instrumentos que en ellos se negocian y su influencia en las decisiones de inversión y financiación de las organizaciones y personas.
3. Identificar, interpretar y evaluar la información financiera y contable de las empresas e instituciones para identificar las fortalezas y debilidades, así  como para asesorar desde un enfoque técnico, financiero y contable en la toma de decisiones.
4. Capacidad para elaborar informes contables y financieros, externos e internos, así como para obtener y emitir una opinión independiente sobre la información contable de una organización.
5. Capacidad de análisis y síntesis.
6. Capacidad para la resolución de problemas.
7. Desarrollar actitudes colaborativas y de trabajo en equipos multidisciplinares o multiculturales, así como desarrollar una actitud crítica para el debate.
8. Capacidad para innovar en todos los aspectos, así como para adaptarse a nuevos entornos: sociales, culturales, tecnológicos,…
9. Motivación por el aprendizaje autónomo y continuado.

2.2. Resultados de aprendizaje

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados...

1.      Ha adquirido destreza en el uso del lenguaje matemático, tanto en su comprensión como en su escritura.

 2.     Identifica los elementos fundamentales de un problema de optimización: variables, función objetivo y restricciones.

3.      Plantea problemas de optimización estática sin restricciones y con restricciones de igualdad y de desigualdad.

4.      Resuelve gráficamente, en los casos en que sea posible, un problema de optimización.

5.      Valora si un programa matemático cumple las condiciones para ser resuelto mediante las técnicas estudiadas.

6.      Distingue entre puntos críticos y extremos u óptimos.

7.      Distingue entre óptimos locales y óptimos globales

8.      Distingue entre condiciones necesarias y condiciones suficientes de optimalidad local

9.      Calcula los puntos críticos resolviendo el sistema de ecuaciones obtenido al plantear las condiciones de primer orden de optimalidad local, tanto en el caso sin restricciones como en el caso de restricciones de igualdad

10.    Estudia los puntos críticos obtenidos utilizando las condiciones de segundo orden, tanto en el caso de problemas de optimización sin restricciones como en el caso de problemas con restricciones de igualdad.

11.    Aplica las condiciones que aseguran la globalidad de los óptimos.

12.    Interpreta el significado económico de los multiplicadores de Lagrange obtenidos en un problema de optimización con restricciones de igualdad.

13.    Evalúa si un programa matemático es lineal y lo resuelve gráficamente, si es posible, y por medio del algoritmo del simplex.

14.    Analiza la variación en la solución de un problema de optimización lineal ante una modificación en algún dato del problema sin necesidad de resolver un nuevo problema.

15.    Resuelve, utilizando programas informáticos adecuados, un problema de optimización, asi como sus distintos elementos, e interpreta los resultados obtenidos.

16.    Identifica un proceso dinámico en un fenómeno económico y lo representa si es posible mediante una ecuación diferencial ordinaria.

17.    Comprende el concepto de solución de una ecuación diferencial ordinaria y distingue entre solución general y solución particular.

18.    Distingue entre ecuación diferencial de primer orden y ecuación diferencial lineal de orden n.

19.    Resuelve algunas ecuaciones diferenciales de primer orden utilizando el método adecuado.

20.    Distingue en una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes, la ecuación homogénea asociada y calcula su solución general.

21.    Calcula una solución particular de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes.

22.    Calcula la solución general de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes.

23.    Calcula la solución de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes de orden n con n condiciones iniciales.

24.    Es capaz de relacionar los distintos temas tratados en la asignatura.

2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Posibilitan la comprensión de conceptos y modelos teóricos que se estudian en otras disciplinas afines con las que el estudiante se va a encontrar a lo largo del grado. El papel de las matemáticas con esta finalidad es muy importante ya que facilita el análisis y la discusión de los modelos y conceptos analizados. En este sentido podemos añadir que las técnicas de Optimización permiten fundamentar los dos paradigmas básicos de la microeconomía; a saber, la teoría del consumo y la teoría de la producción. Los conceptos de convexidad para conjuntos y de concavidad/convexidad para funciones, que se interpretan en términos de la diversidad en el consumo y de la ley de productividad marginal decreciente, respectivamente, tienen importantes aplicaciones. Las herramientas que proporciona la Programación Lineal son muy útiles en problemas de planificación de la producción y permiten realizar sencillos ejercicios de estática comparativa. Por otra parte, el análisis de procesos dinámicos en tiempo continuo, básicos, por ejemplo, en modelos de crecimiento económico, requiere de otras técnicas bien distintas. En este sentido, la teoría de ecuaciones diferenciales proporciona el instrumental necesario para el estudio de conceptos clave como el de trayectoria temporal, evolución del sistema, estabilidad...

3. Evaluación

3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluación:

La evaluación será GLOBAL, tanto en primera como en segunda convocatoria.

Distinguimos dos escenarios y la evaluación será la apropiada a cada escenario.

1.   Escenario aula de prácticas de tipo informático, es decir, con equipos informáticos para los estudiantes propios de la Universidad de Zaragoza. En tal caso la evaluación sería como sigue:

Las actividades de evaluación previstas son de dos tipos:

• Prueba informática (PI) a realizar en el aula de informática, en las que los alumnos deberán aplicar las herramientas informáticas a los conceptos matemáticos desarrollados en el curso (Temas 1 a 5) con los Software Libres wxMaxima y GeoGebra u otro legalmente licenciado. En las pruebas informáticas se valorará el uso de las funciones de estos programas relacionadas con las Matemáticas de la asignatura, los resultados numéricos y/o simbólicos obtenidos, así como su interpretación y conclusiones. El nivel de exigencia será similar a la del material visto en clase.
• Prueba escrita (PE) en la que los alumnos deberán resolver diversas cuestiones y problemas teóricos, teórico-prácticos y prácticos referentes a la aplicación de las técnicas matemáticas presentadas en los Temas 1 a 5. En cada problema se plantearán diversos apartados en cuya resolución se valorará tanto el planteamiento matemático del problema, el uso de la notación y terminología matemática, la correcta resolución numérica y/o simbólica y la interpretación/comparación de los resultados obtenidos. El nivel de exigencia será similar a la del material visto en clase.

Cada prueba se calificará en una escala de 0 a 10 puntos.

La parte de la asignatura evaluada mediante pruebas informáticas (PI) tendrá un peso del 60% en la calificación global, mientras que la parte evaluada mediante prueba escrita (PE) tendrá el 40% restante. Para superar la asignatura se exigirá un mínimo de 4 puntos en cada una de las partes (PI y PE) y obtener una puntuación superior o igual a 5 puntos sobre 10 en la nota final. La calificación final se obtendrá como: NOTA_FINAL = 0.6*PI + 0.4*PE salvo cuando una única parte (PI o PE) no alcance el mínimo indicado (4 puntos), en cuyo caso la calificación reflejada en el acta de la asignatura será la de dicha parte.

La parte informática podrá ser superada por los alumnos mediante dos pruebas informáticas parciales, PI1 (Temas 1 a 3) y PI2 (Temas 4 y 5) que se realizarán durante el periodo de clases o mediante una única prueba informática global (PI) que se realizará en las fechas de las convocatorias oficiales.

Para poder optar a las pruebas informáticas parciales (PI1 y PI2) es obligatorio participar activamente y resolver las cuestiones, ejercicios y pruebas que se realizarán en las clases presenciales (mínimo 75%), según las indicaciones que el profesor responsable de cada grupo de la asignatura expondrá el día de la presentación de la misma.

La prueba escrita se realizará únicamente en las fechas de las convocatorias oficiales.

Para superar la parte informática mediante las pruebas informáticas parciales el alumno deberá obtener al menos 3 puntos en cada una de las pruebas, y la nota media de las dos pruebas (PI = 0.5*PI1 + 0.5*PI2) deberá ser igual o superior a 4 puntos. Los estudiantes que, aun habiendo obtenido estas puntuaciones mínimas en las pruebas informáticas parciales, quieran mejorar su calificación de la parte informática para la primera convocatoria podrán realizar la prueba informática global (PIG), manteniendo la mejor de las dos calificaciones.

Los estudiantes que no hayan superado la asignatura en primera convocatoria podrán presentarse a la segunda convocatoria, cuya evaluación será similar a la evaluación global de la primera convocatoria, una Prueba Informática (PI) + Prueba Escrita (PE). La prueba informática PI (o bien la global o bien por PI1+PI2) con mínimo de 4, de la primera convocatoria, se guarda para la segunda.

2.   Escenario aula de prácticas de tipo NO informático, es decir, sin equipos informáticos para los estudiantes propios de la Universidad de Zaragoza. En tal caso la Evaluación sería como sigue:

La evaluación será GLOBAL, tanto en primera como en segunda convocatoria, y consistirá en un examen final a realizar en el periodo establecido por el Centro. Dicho examen se realizará de forma escrita y evaluará los resultados de aprendizaje propuestos mediante preguntas teóricas, prácticas y/o teórico-prácticas que se ajustarán a la materia impartida. Se puntuará sobre 10 puntos.

Además, en la PRIMERA CONVOCATORIA cabe la posibilidad de realizar una prueba voluntaria intermedia valorada en 5 puntos. Esta prueba evaluará los conocimientos sobre la materia correspondiente a los temas 1 y 2 del programa de la asignatura se realizará en horario de clase o, si así lo estipulara el centro correspondiente, en los días/horas que se habiliten para la realización de pruebas de evaluación continua.

Los estudiantes que obtengan en dicha prueba una calificación superior o igual al 50% de la nota (2,5 puntos sobre 5) podrán optar por eliminar dicha materia del examen global de la primera convocatoria y examinarse únicamente de los restantes contenidos (valorados en 5 puntos); en este caso la nota correspondiente a la materia eliminada será traspasada a la nota del examen global. Para superar la asignatura el estudiante debe obtener un mínimo de 5 puntos sobre 10. Si el o la estudiante obtuviera una calificación superior o igual al 50% de la nota (2,5 puntos sobre 5) y quisiera realizar la totalidad de la prueba global, se le considerará la mejor de las dos calificaciones en la primera parte para calcular la nota total.

Para poder optar a esta forma de evaluación es obligatorio participar activamente y resolver las cuestiones, ejercicios y pruebas que se realizarán en las clases presenciales (mínimo un 75%), según las indicaciones que el profesor responsable de cada grupo de la asignatura expondrá el día de la presentación de la misma. El estudiante que al final del semestre no cumpla con este requisito no podrá optar a este procedimiento de evaluación.

Común a ambos escenarios a) y b):

Debe tenerse en cuenta que los cursos académicos cierran los procesos de evaluación, lo que hace que no puedan reclamarse méritos de un curso para evaluaciones de cursos académicos posteriores.

La evaluación de los estudiantes de quinta y sexta convocatoria se realizará según el acuerdo de 22 de diciembre de 2010 del Consejo de Gobierno por el que se aprueba el reglamento de normas de evaluación del aprendizaje de la Universidad de Zaragoza.

Está previsto que estas pruebas se realicen de manera presencial, pero si las circunstancias sanitarias lo requieren, se realizarán de manera online. En el caso de evaluación online, es importante destacar que, en cualquier prueba, el estudiante podrá ser grabado, pudiendo este ejercer sus derechos por el procedimiento indicado en:

https://protecciondatos.unizar.es/sites/protecciondatos.unizar.es/files/users/lopd/gdocencia_reducida.pdf

Se utilizará el software necesario para comprobar la originalidad de las actividades realizadas. La detección de plagio, copia o cualquier otra práctica irregular en una actividad implicará la calificación de 0 puntos en la misma.

Criterios de valoración

Se evaluará si el estudiante ha adquirido los resultados de aprendizaje expuestos anteriormente. En particular se valorarán los siguientes aspectos:

1. El uso correcto de la escritura del lenguaje matemático.
2. El razonamiento lógico en el planteamiento y en la resolución de los problemas.
3. La referencia al contenido teórico que se utiliza, si es destacable.
4. La elección del método adecuado para la resolución del problema
5. La claridad en la aplicación de los conceptos y procedimientos matemáticos.
6. Cálculos llevados a cabo con cuidado.
7. La expresión correcta en los resultados obtenidos al resolver problemas.

4. Metodología, actividades de aprendizaje, programa y recursos

4.1. Presentación metodológica general

Con esta asignatura se persigue que el estudiante desarrolle la capacidad analítica, el rigor y la intuición en el uso de los conceptos y resultados matemáticos y los sepa aplicar al análisis de problemas de índole económico. Es por esto que la formación del estudiante debe ir orientada en la dirección de dotarle de unos sólidos conocimientos matemáticos e inculcarle una sistemática en el razonamiento que posteriormente le permita encarar con éxito la solución de un amplio abanico de problemas en el contexto económico.

4.2. Actividades de aprendizaje

El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades...

• Actividades tipo 1 (Clase magistral): 30 horas (1,2 créditos ECTS), en las que se combinará la clase magistral para exponer los conceptos y resultados de los contenidos de la asignatura con la resolución participativa de ejercicios, en los que se aplicará de forma inmediata los aspectos teóricos explicados para ayudar a los estudiantes a asimilarlos. Estas clases serán presenciales y se impartirán a todo el grupo.
• Actividades tipo 2 (Resolución de problemas y casos en aula): 30 horas (1,2 créditos ECTS), en las que los estudiantes irán resolviendo, con la ayuda del profesor, ejercicios más completos y problemas de carácter económico en los que se apliquen los resultados matemáticos vistos. Estos ejercicios y problemas estarán en las hojas de problemas de la asignatura (ver enlace a web) y se anunciará con antelación cuáles se van a resolver en cada clase práctica para que el estudiante los pueda preparar. Estas clases serán presenciales y se impartirán  a la mitad del grupo.
• Actividades tipo 6 (Trabajos docentes): hasta 24 horas (0,96 créditos ECTS), en los que se podrán realizar diversas actividades: seguimiento del desarrollo de un trabajo que se habrá propuesto a un grupo de estudiantes y defensa del mismo; tutorías colectivas de determinados temas cuyo aprovechamiento quede plasmado en un documento; desarrollo de problemas de carácter económico en cuya resolución se utilicen herramientas matemáticas explicadas en la asignatura. Estos seminarios podrían dedicarse además a la ampliación de conocimientos mostrando a los estudiantes que estén interesados otras herramientas matemáticas que permitan resolver problemas más generales. Se pone así de manifiesto que tanto la Ciencia Matemática como la Ciencia Económica son ciencias vivas y por tanto con muchos aspectos para estudiar.
• Actividades tipo 7 (Estudio): desde 60 horas
• Actividades tipo 8 (Pruebas de evaluación): 6 horas.

Total: 150 horas (6 créditos ECTS).

Si la disponibilidad de profesorado es inferior al encargo docente y las actividades de tipo 6 no pueden realizarse, se sustituirán dichas actividades por actividades tipo 7.

La metodología docente está previsto que sea presencial. No obstante, si fuese necesario por razones sanitarias, las clases presenciales podrán impartirse online.

4.3. Programa

En las clases teóricas y prácticas se expondrán los contenidos incluidos en el programa que se detalla a continuación. El orden en la impartición de los contenidos podrá experimentar alguna variación que será indicada por el profesor en la presentación de la asignatura.

Tema 1: Programas matemáticos 

1.1. Formulación general de un programa matemático. Clasificación.

1.2. Definiciones y propiedades. Teorema de Weierstrass.

1.3. Resolución gráfica.

1.4. Introducción a la convexidad:

1.4.1. Conjuntos convexos. Definición y propiedades. 

1.4.2. Funciones convexas y cóncavas. Definiciones y propiedades.

1.4.3. Programas convexos.

Tema 2: Programación sin restricciones 

2.1. Formulación del problema. 

2.2. Óptimos locales: 

2.2.1. Condiciones de primer orden para la existencia de óptimo local. 

2.2.2. Condiciones de segundo orden para la existencia de óptimo local. 

2.3. Óptimos globales: Programas convexos. 

Tema 3: Programación con restricciones de igualdad 

3.1. Formulación del problema. 

3.2. Óptimos locales: 

3.2.1. Condiciones de primer orden para la existencia de óptimo local. 

3.2.2. Condiciones de segundo orden para la existencia de óptimo local. 

3.3. Óptimos globales: Programas convexos y Teorema de Weierstrass. 

3.4. Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange. 

Tema 4: Programación lineal 

4.1. Formulación de un problema de programación lineal. 

4.2. Soluciones de un programa lineal. Soluciones factibles básicas. 

4.3. Caracterización de las soluciones básicas óptimas. Algoritmo del simplex. 

4.4. Introducción al análisis de sensibilidad. 

4.5. Introducción al programa dual. 

Tema 5: Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias 

5.1. Introducción al análisis dinámico. 

5.2. Concepto de ecuación diferencial, solución y tipos de soluciones. 

5.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden: 

5.3.1. Ecuaciones en variables separadas. 

5.3.2. Ecuaciones lineales de primer orden. 

5.4. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n con coeficientes constantes. 

5.5. Análisis cualitativo: puntos de equilibrio y estabilidad.

4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

El día de la presentación de la asignatura se expondrá, en cada grupo, el calendario detallado de la asignatura según las características del curso académico.

- Planteamiento inicial de la asignatura: Inicio de las clases (teóricas y prácticas)

- Asistencia y aprovechamiento continuado a las clases teóricas y prácticas

- Realización, según calendario indicado el día de la presentación, de pruebas intermedias de evaluación

- Examen final en la fecha fijada en el calendario de exámenes del Centro

- Las fechas clave de la asignatura se anunciarán en el aula y/o plataformas docentes del profesorado